Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

A. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai:

Jikamaka SPLDV itu dikatakan homogen, sedangkan jikamaka SPLDV itu dikatakan tak homogen.

contoh:

1. SPLDV homogen

2. SPLDV tak homogen

1. Pengertian Penyelesaian SPLDV

JIka nilai dan, dalam pasangan terurut ditulis, memenuhi SPLDV

maka haruslah berlaku hubungandengan kata laindisebut penyelesaian SPLDV itu/ tafsiran titik potong.

contoh:

mempunyai penyelesaian (2, 3). Untuk menguji kebenaran bahwa (2, 3) merupakan penyelesaian SPLDV tersebut, substitusikan x = 2 dan y = 3 ke persamaan 

2. Metode Penyelesaian SPLDV

a. Metode Grafik

Langkah 1 : Gambarkan grafik dari masing-masing ersamaan pada sebuah bidang Cartesius.

Langkah 2 : 

• Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.
  
• Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
  
• JIka kedua garis itu berimpit, maka himpunann penyelesaiannya memiliki anggota yang tak terhingga banyaknya.
  

b. Metode Substitusi

Langkah 1 : Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.

Langkah 2 : Substitusikan x atay y pada langkah 1 ke persamaan yang lain.

c. Metode Eliminasi

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan mengeliminasi peubah x.

d. Metode Determinan

Misalkan terdapat SPLDV sebagai berikut:

maka dapat diubah ke bentuk matriks:

Sehingga,

contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini:

a. Metode substitusi

Langkah 1 : 

Langkah 2 : 

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah 

b. Metode eliminasi

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 

c. Metode determinan

Sehingga,

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 

B. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum persamaan SPLTV dalam variabel x, y, dan z dapat ditulis sebagai:

dengan 

1. Pengertian Penyelesaian SPLTV

Jika nilai, , dan, dengan pasangan terurut ditulis 

memenuhi SPLTV diatas, maka haruslah berlaku:

Dalam hal demikian,  disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut/tafsiran titik potong.

2. Metode Penyelesaian SPLTV

a. Metode Substitusi

Langkah 1 : Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

Langkah 2 : Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat SPLDV.

Langkah 3 : Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.

b. Metode Eliminasi

Langkah 1 : Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV..

Langkah 2 : Selesaikan SPLDV pada langkah 1.

Langkah 3 : Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

c. Metode Determinan

Misalkan terdapat SPLTV sebagai berikut:

maka dapat diubah ke bentuk matriks

sehingga peubah x, y, dan z dapat dicari dengan:

C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

1. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

Bentuk umum:

dengan 

Langkkah Penyelesaian SPLK

a. Susbtitusikan bagian linear  ke , diperoleh :

b. Nilai-nilai x pada langkah diatas (jika ada) disubstitusikan ke persamaan 

c. 

• JIka D > 0 maka SPLK mempunyai dua himpunan penyelesaian;
• JIka D = 0 maka SPLK mempunyai saatu himpunan penyelesaian;
• Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

2. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit

Bentuk umum :

dengan 

a. Kuadrat Implisit Tak Dapat di Faktorkan

Langkah 1 : pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x

Langkah 2 : substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y

Langkah 3 : selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai-nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear.

b. Langkah 1 : Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh  masing-masing berbentuk linear.

Langkah 2 : Bentuk-bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh dua buah SPLDV. 

Langkah 3 : Selesaikan masing-masing SPLDV yang diperoleh dari langkah 2.

D. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan

Langkah 1 : Nyatakan besaran yang ada dalam domain masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.

Langkah 2 : Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah.

Langkah 3 : Tentukan penyelesaian dan model matematika yang diperoleh dari langkah 2.

Langkah 4 : Tafsirkan terhadap hasil yang diperoleh disesuaikan dengan masalah semula.