LIMIT ~ SMARTINDONG

Sejarah Limit

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui sesama hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.

A Course of Pure Mathematics

A. Definisi Limit

1. Definisi Intuisi
"limit merupakan nilai pendekatan"

$\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)$

contoh:

$\lim_{x\rightarrow 2} x^2-1=(2)^2-1=3$

2. Definisi Eksak

$lim_{x\rightarrow 2} f(x)=L$ berarti bahwa untuk setiap $\epsilon> 0$ yang di berikan, terdapat $\delta> 0$ yang berpadanan sedemikian sehingga $\left |f(x)-L \right |< \epsilon$ asalkan $0< \left |x-c \right |< \delta$ , atau dapat ditulis:

$\forall \epsilon> 0, \exists \delta> 0, \exists0< \left |x-c \right |< \delta\rightarrow \left | f(x)-L) \right |< \epsilon$

contoh:

Buktikan bahwa $\lim_{x\rightarrow 4} (3x-7)=5$ !

Pembahasan:
Analisis Pendahuluan:

$0< \left | x-4 \right |< \delta\rightarrow \left | (3x-7)-5 \right |< \epsilon$

$\left | 3x-7-5 \right |< \epsilon$

$\left | 3x-12 \right |< \epsilon$

$\left | 3 \right |\left | x-4 \right |< \epsilon$

$\left | x-4 \right |< \frac{\epsilon}{4}\rightarrow \delta$

Bukti formal:

Ambil $\epsilon> 0$ , pilih $\delta = \frac{\epsilon}{3}$ , sehingga jika $0< \left |x-c \right |< \delta$ maka

$\left | (3x-7)-5 \right |=\left | 3x-12 \right |$

$\left | (3x-7)-5 \right |=\left | 3(x-4) \right |$

$\left | (3x-7)-5 \right |=\left | 3 \right |\left | x-4 \right |$

$\left | (3x-7)-5 \right |=3\delta$

$\left | (3x-7)-5 \right |=3.\frac{\epsilon}{3}$

$\left | (3x-7)-5 \right |=\epsilon$

B. Limit Aljabar
Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupans sehari-hari mungkin tidak terlihat langsung, tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam matematika bagaimana kita bisa belajar Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak Hingga, Differensial Fungsi (Turunan) dan sampai pada Integral Fungsi.

Limit merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan c bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada c. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat dengan L ketika x juga mendekat menuju c. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat dengan c, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada c ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

1. Limit untuk $x\rightarrow c$
a. Menentukan Nilai Limit

Substitusikan ke fungsi .

Jika dihasilkan bentuk real, maka itulah nilai limitnya. Namun jika dihasilkan bentuk-bentuk tak tentu seperti:

$\frac{0}{0}, \frac{\propto }{\propto}, \propto-\propto, 0^{0}$ maka

Faktorkan, atau
Kalikan sekawannya

contoh:

Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}!$

Pembahasan :

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}=\lim_{x\rightarrow 2} x+2=2+2=4$

b. Sifat Limit

Misalkan f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di

, maka

1.   $\lim_{x\rightarrow a} k=k, k=\mathbb{R}$

2.   $\lim_{x\rightarrow a} x=a$

3.   $\lim_{x\rightarrow a} f(x)=f(a)$

4.   $\lim_{x\rightarrow a} kf(x)=k. \lim_{x\rightarrow a}f(x)$

5.   $\lim_{x\rightarrow a} (f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow a}g(x)$

6.   $\lim_{x\rightarrow a} (f(x). g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x). \lim_{x\rightarrow a}g(x)$

7.   $\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)}$

8.   $\lim_{x\rightarrow a} (f(x))^{n}={}\left ( \lim_{x\rightarrow a}f(x) \right )^{n}, n \epsilon \mathbb{Z}^+$

9.   $\lim_{x\rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow a} f(x)} , n \epsilon \mathbb{Z}^+$

syarat   $\lim_{x\rightarrow a} f(x)\geq 0$

2. Limit untuk $x\rightarrow \propto$

Konsepnya : Bagi dengan pangkat tertinggi

$\lim_{x\rightarrow \propto } \frac{a_{m}^{m}+a_{m-1}^{m-1}+...+a_{1}^{1}+a_{0}}{b_{n}^{n}+b_{n-1}^{n-1}+...+b_{1}^{1}+b_{0}}=$

a.   $+\propto$ jika

dan $a_{m}> 0$

b. $-\propto$ jika

dan $a_{m}< 0$

c.

jika

d. $\frac{a_{m}}{b_{n}}$ jika

$\lim_{x\rightarrow \propto}k. x^{n}=\propto$

$\lim_{x\rightarrow \propto}\frac{1}{x}=0$

$\lim_{x\rightarrow \propto}\sqrt[3]{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}-\sqrt[3]{px^{3}+qx^{2}+rx+s}=$

a. $\propto$ jika

b. $-\propto$ jika

c. $\frac{b-q}{3\sqrt[3]{a^2}}$ jika

C. Limit Trigonometri

a.   $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\sin bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

b.   $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\tan bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}$

c.   $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Referensi :

1. Catatan Kuliah Kalkulus

2. Wikipedia : Limit Fungsi

Explore more at Quizizz.

Dapatkan kelas privat online Matematika disini!

SMARTINDONG

Jumat, 04 Mei 2018

LIMIT

0 Comments:

Posting Komentar

Labels

Blog Archive

Total Tayangan Halaman