Mei 2018 ~ SMARTINDONG

A. Bentuk Pangkat Bulat Positif dan Bulat Negatif
1. Pangkat Bulat Positif

$a^{n}=\underset{n \, buah}{\underbrace{a\times a\times a\times ...\times a\times a}}$
dengan :

Catatan:

Jika $n=1\,\: maka\,\: a ^{n}=a^{1}=a$

Jika $n=0\, \: maka : (1)\, \: a\neq 0,\, \: maka\, \: a^{0}=1 \, \: atau\, \: (2)\, \: a=0,\, \: maka\, \: 0^{0}\, \: tidak\, \: terdefinisi$

2. Pangkat Bulat Negatif
$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\: atau\: a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$
dengan:
$a\in \mathbb{R}\: dan\: a\neq 0$

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
1. Bentuk Akar
"Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya berupa bilangan irasional"
Contoh:

$\sqrt{9}$ bukan bentuk akar, sebab $\sqrt{9}=3$ (bilangan rasional)
$\sqrt{0.25}$ bukan bentuk akar, sebab $\sqrt{0.25}=0.5$ (bilangan rasional)
$\sqrt{6}$ merupakan bentuk akar

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku:

$\sqrt{(a\times b)}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan:

$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a\pm b)\sqrt{c}$

a. Perkalian Bentuk Akar

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{(a\times b)}$
dengan a dan b masing-masing bilangan positif.
Contoh:

b. Menarik Akar Kuadrat
Jika a dan b merupakan bilangan-bilangan rasional positif, maka:

$\sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$
Contoh:

4. Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

a. Pecahan Berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut:

$\frac{6}{\sqrt{3}}$

Pembahasan:
$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6}{3}\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

b. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$
"Kalikan dengan sekawannya"
Untuk pecahan $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ diubah menjadi

$\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}$

Untuk pecahan $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$ diubah menjadi

$\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}$

Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut:

$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$

Pembahasan:
$\frac{2}{\sqrt{2}+1}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1}=2\sqrt{2}-1)$

c. Pecahan Berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
"Kalikan dengan sekawannya"
Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ diubah menjadi

$\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$

Untuk pecahan $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ diubah menjadi

$\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$
Contoh:
Rasionalkan penyebut pecahan berikut:

$\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Pembahasan:
$\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{3(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2})$

5. Pangkat Pecahan
Notasi :

$a^{\frac{m}{n}}$

dengan :

$m \, dan\, n$ , bilangan bulat
bilangan real

$a\neq 0$

a. Pangkat Pecahan $a^{\frac{1}{n}}$
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan

$b^{n}=a\rightarrow b=\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

Catatan:

Contoh:
Tentukan akar-akar pangkat bilangan berikut:
a. $\sqrt{9}$
b. $\sqrt[3]{-27}$
c. $\sqrt{-4}$
Pembahasan:
a. $\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3$
b. $\sqrt[3]{-27}=\sqrt{(-3)^{3}}=-3$
c. $\sqrt{-4}\: bukan\: bil.\: real$

b. Pangkat Pecahan $a^{\frac{m}{n}}$

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
dengan:

Contoh:
$2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{2^{3}}$

C. Sifat-sifat Pangkat Rasional
Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan rasional, maka berlaku:
a. $a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}$
b. $a^{p}: a^{q}=a^{p-q} \: dengan\: p> q$
c. $(a^{p})^{q}=a^{p\times q}$
d. $(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
e. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\: dengan\: b\neq 0$
f. $0^{n}=0$

Notasi Baku atau Notasi Ilmiah
$a\times 10^{n}$
dengan:

Contoh:

a. $3200000=3,2\times 10^{6}$
b. $0,00000035=3,5\times 10^{-7}$

SMARTINDONG

Sekolah Dasar

Sekolah Menengah Pertama

Sekolah Menengah Atas

Materi Umum

Kelas Online

Jumat, 25 Mei 2018

PANGKAT dan AKAR

Total Tayangan Halaman

Blog Archive